Para cada uma das funções abaixo, calcule a derivada.
f(x)=x \cdot \sqrt{4-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \r \displaystyle f(x)=x\sqrt{4-x^2}. \r
Aqui vamos usar a regra do produto e, ao derivar \sqrt{4-x^2}, a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevemos \r \displaystyle f(x)=x\,(4-x^2)^{\tfrac12} \r
e aplicamos a regra do produto: \r
\displaystyle f'(x)=1\cdot(4-x^2)^{\tfrac12}+x\cdot\frac{d}{dx}\bigl[(4-x^2)^{\tfrac12}\bigr].

Passo 3

Calculamos a derivada do segundo fator via regra da cadeia: \r
\displaystyle \frac{d}{dx}\bigl[(4-x^2)^{\tfrac12}\bigr]\r =\tfrac12(4-x^2)^{-\tfrac12}\cdot(-2x)\r =-\frac{x}{(4-x^2)^{\tfrac12}}. \r
Substituindo em f'(x): \r
\displaystyle f'(x)=(4-x^2)^{\tfrac12}+x\Bigl(-\frac{x}{(4-x^2)^{\tfrac12}}\Bigr).

Passo 4

Colocamos tudo sobre o mesmo denominador (4-x^2)^{\tfrac12}: \r
\displaystyle f'(x)\r =\frac{(4-x^2)-x^2}{(4-x^2)^{\tfrac12}}\r =\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}.

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