Para cada uma das funções abaixo, calcule a derivada.
f(x)=\sqrt{x+x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{x+x^{2}}.
Vamos usar cálculo de derivadas de funções compostas (regra da cadeia) e a derivada de uma raiz quadrada.

Passo 2

Escrevemos
f(x) = (x + x^{2})^{\tfrac12}.
Definimos a função interna
u(x) = x + x^{2},
cuja derivada é
u'(x) = 1 + 2x.
A função externa é
g(u) = u^{\tfrac12},
cuja derivada é
g'(u) = \tfrac12\,u^{-\tfrac12} = \frac{1}{2\sqrt{u}}.
Pela regra da cadeia,
f'(x) = g'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+x^{2}}}\,(1+2x).

Resposta

f'(x) = \frac{1+2x}{2\sqrt{x+x^{2}}}.

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