Para cada uma das funções abaixo, calcule a derivada.
f(x)=\frac{8 x}{x^{2}+4}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \frac{8x}{x^2 + 4}.
O conteúdo aqui é a regra do quociente de funções, que diz: se f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.

Passo 2

Identificamos
u(x) = 8x \quad\text{e}\quad v(x) = x^2 + 4.
Agora calculamos suas derivadas:
u'(x) = 8, \quad v'(x) = 2x.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2} = \frac{8\,(x^2+4) - (8x)\,(2x)}{(x^2+4)^2}.

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
8\,(x^2+4) = 8x^2 + 32, \quad (8x)\,(2x) = 16x^2,
então
8x^2 + 32 - 16x^2 = -8x^2 + 32 = 8\,(4 - x^2).
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f'(x) = \frac{8\,(4 - x^2)}{(x^2+4)^2}.

Resposta

f'(x) = \frac{8\,(4 - x^2)}{(x^2+4)^2}.

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