Para cada uma das funções abaixo, calcule a derivada.
f(x)=\frac{x^{2}+x-6}{x^{2}-4}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}+x-6}{x^{2}-4}.
O conteúdo envolvido é a regra do quociente: se \,f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui identificamos
u(x)=x^{2}+x-6, \quad v(x)=x^{2}-4.

Passo 2

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=2x+1, \quad v'(x)=2x.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente,
f'(x) =\frac{(2x+1)(x^{2}-4)-(x^{2}+x-6)\,(2x)}{(x^{2}-4)^{2}}.

Passo 4

Expandindo e simplificando o numerador:
(2x+1)(x^{2}-4)=2x^{3}+x^{2}-8x-4, \qquad 2x(x^{2}+x-6)=2x^{3}+2x^{2}-12x,
então
\text{num} =2x^{3}+x^{2}-8x-4-\bigl(2x^{3}+2x^{2}-12x\bigr) =-x^{2}+4x-4 =-\bigl(x^{2}-4x+4\bigr) =-\,(x-2)^{2}.

Passo 5

Substituindo de volta e cancelando (x-2)^{2} (para x\neq2),
f'(x)=-\frac{(x-2)^{2}}{(x^{2}-4)^{2}} =-\frac{1}{(x+2)^{2}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{(x+2)^{2}}.

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