Para cada uma das funções abaixo, calcule a derivada.
f(x)=\frac{x}{x^{2}-3 x+2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x) = \frac{x}{x^{2} - 3x + 2}.
O conteúdo que vamos usar é a Regra do Quociente, indicada para funções da forma u(x)/v(x).

Passo 2

Definimos
u(x) = x \quad\text{e}\quad v(x) = x^{2} - 3x + 2.
Então
u'(x) = 1 \quad\text{e}\quad v'(x) = 2x - 3.

Passo 3

A Regra do Quociente diz que
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.
Substituindo u, u', v e v', obtemos
f'(x) = \frac{1\cdot(x^{2}-3x+2) - x\cdot(2x-3)}{(x^{2}-3x+2)^{2}}.

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
1\cdot(x^{2}-3x+2) - x\cdot(2x-3) = x^{2} - 3x + 2 - 2x^{2} + 3x = 2 - x^{2}.
Logo
f'(x) = \frac{2 - x^{2}}{(x^{2} - 3x + 2)^{2}}.

Resposta

f'(x) = \frac{2 - x^{2}}{(x^{2} - 3x + 2)^{2}}.

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