Para cada uma das funções abaixo, calcule
e encontre seu respectivo domínio. Esboce o domínio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular $ f(3,2) $ para a função $ f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{xy - 1}} $ e descobrir qual é o domínio dessa função. Além disso, vamos esboçar esse domínio. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e entender o que significa o domínio de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ f(3,2) $. Isso significa substituir $ x $ por 3 e $ y $ por 2 na função:
Passo 3
Vamos resolver dentro da raiz primeiro:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. No nosso caso, a função $ f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{xy - 1}} $ está definida quando:
- O denominador não pode ser zero.
- O que está dentro da raiz quadrada deve ser positivo, porque a raiz de um número negativo não é um número real.
Então, temos que:
Isso significa que o domínio da função são todos os pares
onde o produto de $ x $ e $ y $ é maior que 1.
Passo 5
Para esboçar o domínio, podemos pensar na curva $ xy = 1 $, que é uma hipérbole. O domínio será a região onde $ xy > 1 $. Isso corresponde às áreas acima da hipérbole nos quadrantes onde $ x $ e $ y $ têm os mesmos sinais (ambos positivos ou ambos negativos).
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{xy - 1}} $ é o conjunto de todos os números reais $ x $ e $ y $ tais que $ xy > 1 $. O esboço do domínio é a região acima da hipérbole $ xy = 1 $ nos quadrantes onde $ x $ e $ y $ são ambos positivos ou ambos negativos.