Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de condução de calor numa barra, onde a temperatura varia com o espaço $ x $ e o tempo $ t $. A matéria que vamos usar aqui é a equação de calor, que descreve como o calor se distribui ao longo do tempo numa barra. Para resolver, precisamos achar três coisas:
a) A temperatura no estado estacionário, ou seja, quando a temperatura não muda mais com o tempo.
b) A parte transiente, que mostra como a temperatura muda até chegar no estado estacionário.
c) A solução completa que combina as duas anteriores.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a) e encontrar a função $ v(x) $ que descreve a temperatura no estado estacionário. No estado estacionário, a temperatura não varia com o tempo, então $ u_t(x, t) = 0 $. A equação de calor então se simplifica para:
v(x)
Isso é uma equação diferencial bem simples. A solução geral dessa equação é uma função linear:
ut(x, t) = 0
Agora, vamos usar as condições de contorno para encontrar os valores das constantes $ C_1 $ e $ C_2 $. As condições são $ v(0) = 3 $ e $ v(1) = 1 $.
Quando $ x = 0 $:
v''(x) = 0
Quando $ x = 1 $:
v(x) = C1 x + C2
Então, a função $ v(x) $ fica:
C1
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b) e encontrar a função transiente $ w(x, t) $. Essa função representa como a temperatura evolui no tempo até chegar no estado estacionário. Para isso, a gente assume que a solução completa $ u(x, t) $ pode ser escrita como:
w(x, t)
Substituindo na equação de calor:
u(x, t)
Com as condições de contorno para $ w(x, t) $:
u(x, t) = v(x) + w(x, t)
E a condição inicial para $ w(x, 0) $:
w''(x) = wt(x, t)
A equação diferencial para $ w(x, t) $ é uma equação de onda homogênea com condições de contorno homogêneas. A solução pode ser escrita em termos de séries de Fourier:
w(x, t)
Para encontrar os coeficientes $ B_n $, usamos a condição inicial $ w(x, 0) = -2 $:
w(0, t) = 0 e w(1, t) = 0
Calculando os coeficientes de Fourier para uma função constante, percebemos que apenas o termo com $ n = 0 $ contribui, mas como nossa série começa em $ n=1 $, todos os $ B_n = 0 $. Portanto, a função transiente é:
w(x, 0)
Isso significa que a solução estacionária já satisfaz todas as condições iniciais, e não há componente transiente.