Para cada uma das funções abaixo, calcule f(3,2) e encontre seu respectivo domínio. Esboce o domínio.
f(x, y)=x ln (y^2-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular $ f(3,2) $ para a função $ f(x, y) = x \ln(y^{2} - x) $ e descobrir qual é o domínio dessa função. A matéria que estamos mexendo aqui envolve funções de duas variáveis e domínios de funções, além de usar logaritmos naturais. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o logaritmo e como encontrar onde a função está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ f(3,2) $. Isso significa que vamos substituir $ x $ por 3 e $ y $ por 2 na função.
f(3,2)
Calculando dentro do logaritmo:
x
Então, temos:
y
Sabemos que o logaritmo natural de 1 é 0, porque $ e^{0} = 1 $. Assim:
f(3,2) = 3 ln(2^2 - 3)

Passo 3

Agora, vamos descobrir o domínio da função $ f(x, y) = x \ln(y^{2} - x) $. O domínio é o conjunto de todos os pares f(x, y) = x ln(y^2 - x) para os quais a função está definida.
Aqui, temos um logaritmo natural $ \ln(z) $, que só está definido quando $ z > 0 $. No nosso caso, o argumento do logaritmo é $ y^{2} - x $. Portanto, precisamos que:
(x, y)
Isso significa que para qualquer valor de $ y $, o valor de $ x $ deve ser menor que $ y^{2} $.

Passo 4

Vamos esboçar o domínio. A condição $ x < y^{2} $ representa todas as coordenadas x < y^2 que estão abaixo da parábola $ x = y^{2} $ no plano cartesian.
Para visualizar:
  1. Desenhe a parábola $ x = y^{2} $, que abre para a direita.
  2. O domínio será toda a região à esquerda dessa parábola, onde $ x $ é menor que $ y^{2} $.

Resposta

$ f(3,2) = 0 $
O domínio da função é todos os pares f(3,2) = 0 tais que $ x < y^{2} $. O esboço do domínio é a região abaixo da parábola $ x = y^{2} $ no plano cartesiano.

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