Calcule o volume do sólido que se encontra acima do cilindro parabólico
e abaixo do paraboloide
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado inferiormente pelo cilindro parabólico z = y^{2} e superiormente pelo paraboloide z = 8 - 2x^{2} - y^{2}. Vamos usar integração dupla (ou tripla) para calcular esse volume, projetando a região sobre o plano xy e integrando a diferença das superfícies.
Passo 2
Para achar a região de projeção R, impomos y^{2} ≤ 8 - 2x^{2} - y^{2}. Isso dá 2y^{2} + 2x^{2} ≤ 8, ou seja, x^{2} + y^{2} ≤ 4. Logo R é o disco de raio 2 centrado na origem.
Passo 3
Expressamos o volume como integral sobre R da altura do sólido, que é a diferença entre a superfície superior e a inferior. Assim,
Passo 4
Para simplificar a integral, trocamos para coordenadas polares: x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, com 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ \theta ≤ 2\pi. O integrando vira 8 - 2r^{2} e dA = r,dr,d\theta. Então
Passo 5
Fazendo a integral em r:
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Resposta
16\pi