Calcule o volume do sólido que se encontra acima do cilindro parabólico z=y^2 e abaixo do paraboloide z=8-2 x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado inferiormente pelo cilindro parabólico z = y^{2} e superiormente pelo paraboloide z = 8 - 2x^{2} - y^{2}. Vamos usar integração dupla (ou tripla) para calcular esse volume, projetando a região sobre o plano xy e integrando a diferença das superfícies.

Passo 2

Para achar a região de projeção R, impomos y^{2} ≤ 8 - 2x^{2} - y^{2}. Isso dá 2y^{2} + 2x^{2} ≤ 8, ou seja, x^{2} + y^{2} ≤ 4. Logo R é o disco de raio 2 centrado na origem.

Passo 3

Expressamos o volume como integral sobre R da altura do sólido, que é a diferença entre a superfície superior e a inferior. Assim,
V = integral duplaR l[(8 - 2x^2 - y^2) - y^2r] ,dA = integral duplaR (8 - 2x^2 - 2y^2) ,dA

Passo 4

Para simplificar a integral, trocamos para coordenadas polares: x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, com 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ \theta ≤ 2\pi. O integrando vira 8 - 2r^{2} e dA = r,dr,d\theta. Então
V = integral0^2pi integral0^2 (8 - 2r^2),r,dr,dtheta

Passo 5

Fazendo a integral em r:
integral0^2 (8r - 2r^3),dr = l[4r^2 - tfrac12r^4r]0^2 = 16 - 8 = 8
Logo
V = integral0^2pi 8 ,dtheta = 8 cdot 2pi = 16pi

Resposta

16\pi

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