Para cada uma das funções abaixo calcule a série de Taylor em x=0. Em seguida, usando a série, determine integral f(x) d x.
f(x)=e^-x^2

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(x)=e^-x^2 em torno de x=0 e depois calcular a integral indefinida integral f(x),dx usando essa série. Vamos precisar do desenvolvimento de e^u em série de potências e da integração termo a termo de uma série.

Passo 2

Lembrando que para qualquer u temos
e^u=sumn=0^inftyu^nn!
Basta fazer u=-x^2. Assim
e^-x^2=sumn=0^infty(-x^2)^nn!=sumn=0^infty(-1)^nn!,x^2n

Passo 3

Agora integramos termo a termo. Para cada termo x^2n vale a regra de potência: integral x^2ndx=tfracx^2n+12n+1+C. Logo
integral e^-x^2,dx=integralsumn=0^infty(-1)^nn!,x^2ndx =sumn=0^infty(-1)^nn!x^2n+12n+1+C

Resposta

integral e^-x^2,dx=sumn=0^infty(-1)^nn!x^2n+12n+1+C.

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