Considere a função
definida para
.
Verifique que
Verifique que
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrarmos que essa função satisfaz a equação diferencial
. O conteúdo aqui é séries de potências e diferenciação termo a termo.
Passo 2
Como a série converge para todo
(raio de convergência infinito), podemos diferenciá-la termo a termo. Assim,
Calculando a derivada termo a termo, obtemos
Agora reescrevendo o termo genérico de :
Fazendo a troca de índice , chegamos a
Calculando a derivada termo a termo, obtemos
Agora reescrevendo o termo genérico de
Fazendo a troca de índice
Passo 3
Agora somamos
e
:
Como para todo vale
, o somatório é zero e concluímos que
Como para todo
Resposta
De fato,
, conforme queríamos verificar.