Considere a função y(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^nn! definida para x in R.
Verifique que y^prime(x)+y(x)=0

Passo 1

O enunciado define y(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^nn! e pede para mostrarmos que essa função satisfaz a equação diferencial y'(x)+y(x)=0. O conteúdo aqui é séries de potências e diferenciação termo a termo.

Passo 2

Como a série converge para todo xinR (raio de convergência infinito), podemos diferenciá-la termo a termo. Assim,
Calculando a derivada termo a termo, obtemos
Agora reescrevendo o termo genérico de y'(x):
Fazendo a troca de índice k=n-1, chegamos a

Passo 3

Agora somamos y'(x) e y(x):
Como para todo k vale (-1)^k+1+(-1)^k=0, o somatório é zero e concluímos que

Resposta

De fato, y'(x)+y(x)=0, conforme queríamos verificar.

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