Considere a função
definida para
.
Calcule
Calcule
Passo 1
O enunciado apresenta a função por série de potências
O conteúdo envolvido é diferenciação termo a termo de séries de potências e reconhecimento de que essa série é a expansão de
. Para resolver, vamos diferenciar duas vezes a série abreviando fatores de fatorial.
Passo 2
Diferenciando termo a termo para obter
:
Começamos com
Começamos com
Aplicando
e lembrando que
gera um fator
e um
extra, temos
Em seguida simplificamos
e juntamos as potências de 2:
Passo 3
Agora diferenciamos
para achar
:
De novo usamos
para obter
Agora fazemos a troca de índice
, de modo que quando
temos
:
E como
, isso vira
Passo 4
Reconhecendo que a série dentro da soma é exatamente
, concluímos