Considere a função y(x)=sumn=0^infty(-1)^n (2 x)^2 n(2 n)! definida para x in R.
Calcule y^prime prime(x)

Passo 1

O enunciado apresenta a função por série de potências
y(x)=sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n(2n)!
O conteúdo envolvido é diferenciação termo a termo de séries de potências e reconhecimento de que essa série é a expansão de cos(2x). Para resolver, vamos diferenciar duas vezes a série abreviando fatores de fatorial.

Passo 2

Diferenciando termo a termo para obter y'(x):
Começamos com
y(x)=sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n(2n)!
Aplicando ddx(x^k)=k x^k-1 e lembrando que (2x)^2n gera um fator 2n e um 2^2n-1 extra, temos
y'(x)=sumn=1^infty(-1)^n(2n)(2x)^2n-1(2n)!
Em seguida simplificamos 2n(2n)!=1(2n-1)! e juntamos as potências de 2:
y'(x)=sumn=1^infty(-1)^n2^2nx^2n-1(2n-1)!

Passo 3

Agora diferenciamos y'(x) para achar y''(x):
y''(x)=sumn=1^infty(-1)^n2^2n(2n-1)x^2n-2(2n-1)!
De novo usamos 2n-1(2n-1)!=1(2n-2)! para obter
y''(x)=sumn=1^infty(-1)^n2^2nx^2n-2(2n-2)!
Agora fazemos a troca de índice m=n-1, de modo que quando n=1 temos m=0:
y''(x)=summ=0^infty(-1)^m+12^2(m+1)x^2m(2m)!
E como 2^2(m+1)=4cdot2^2m, isso vira
y''(x)=-4summ=0^infty(-1)^m(2x)^2m(2m)!

Passo 4

Reconhecendo que a série dentro da soma é exatamente y(x), concluímos
y''(x)=-4,y(x)

Resposta

y''(x)=-4,y(x)

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