Questão 2 (3 pontos) Encontre a soluçāo geral das equaçōes diferenciais
(4 x-3 y) d x+(2 y-3 x) d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial (4x-3y),dx + (2y-3x),dy = 0. O conteúdo envolvido é equações diferenciais exatas e vamos usar o critério de exatidão e a função potencial para resolver.

Passo 2

Identificamos as funções M(x,y)=4x-3y e N(x,y)=2y-3x. Calculamos partial M/partial y = -3 e partial N/partial x = -3. Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial F(x,y) tal que partial F/partial x = M(x,y). Integramos em relação a x:
F(x,y)=integral(4x-3y),dx = 2x^2 - 3xy + h(y), onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Derivamos F em relação a y:
partial Fpartial y = -3x + h'(y)
E impomos que isso seja igual a N(x,y)=2y-3x. Logo
-3x + h'(y) = 2y - 3x implies h'(y)=2y
Integramos: h(y)=y^2.

Passo 5

Substituindo de volta em F(x,y), obtemos a solução geral em forma implícita:
F(x,y)=2x^2 - 3xy + y^2 = C, onde C é constante de integração.

Resposta

2x^2 - 3xy + y^2 = C

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