Para cada uma das funções abaixo calcule a série de Taylor em x=0. Em seguida, usando a série, determine integral f(x) d x.
f(x)=sen xx

Passo 1

Temos a função f(x)= sin xx. O que vamos fazer é obter a série de Taylor em torno de x=0 usando a expansão de sin x e depois integrar termo a termo para achar integral f(x),dx.

Passo 2

Começamos lembrando a série de Taylor de sin x em x=0:
sin x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!=x-x^36+x^5120-x^75040+cdots

Passo 3

Para obter sin xx basta dividir cada termo por x:
sin xx=1-x^26+x^4120-x^65040+cdots

Passo 4

Agora integramos a série termo a termo, lembrando que integral x^k,dx=x^k+1k+1+C:
integralsin xx,dx=integrall(1-x^26+x^4120-x^65040+cdotsr)dx
Fazendo a integração de cada termo:
x-x^318+x^5600-x^735280+cdots +C

Passo 5

Como resultado geral podemos escrever
integralsin xx,dx=C+sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)(2n+1)!

Resposta

integralsin xx,dx=x-x^318+x^5600-x^735280+cdots+C

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