Usando que m=lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P(x0, y0). f(x)=x^2+2, P(1,3)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x^2+2 no ponto P(1,3), usando a definição de derivada m=limhto0tfracf(x0+h)-f(x0)h. O conteúdo aqui é derivada de funções polinomiais e aplicação da fórmula ponto-ângulo.

Passo 2

Para calcular o coeficiente angular m, aplicamos a definição de derivada em x0=1:
m = limhto0 f(1+h)-f(1)h Substituindo f(1+h)=(1+h)^2+2 e f(1)=1^2+2=3, temos:
(1+h)^2+2 - 3h = 1 + 2h + h^2 +2 -3h = 2h + h^2h = 2 + h Tomando o limite quando hto0 obtemos m=2.

Passo 3

Agora usamos a forma ponto-ângulo da reta: y - y0 = m(x - x0). Como x0=1, y0=3 e m=2,
y - 3 = 2(x - 1) Simplificando para a forma explícita:
y = 2x - 2 + 3 = 2x + 1

Resposta

y = 2x + 1

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