Calcule a derivada da função dada pela definição, considerando c in R, n, m in N e b in] 0,+infty[-1. f(x)=x^3

Passo 1

Temos a função f(x)=x^3 e queremos calcular a sua derivada f’(x) usando a definição de derivada. O conteúdo principal aqui é o limite do quociente de diferença e vamos usar a definição
A definição de derivada de f em x é dada por
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 2

Primeiro, calculamos f(x+h). Como f(x)=x^3, substituímos x por x+h:
f(x+h)=(x+h)^3
Para expandir, usamos o binômio de Newton: (x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h^3.

Passo 3

Em seguida, calculamos a diferença f(x+h)−f(x):
f(x+h)-f(x)=l(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3r)-x^3=3x^2h+3xh^2+h^3

Passo 4

Agora, dividimos essa diferença por h para formar o quociente de diferença:
f(x+h)-f(x)h=3x^2h+3xh^2+h^3h
Podemos fatorar h no numerador: 3x2h+3xh2+h^3 = h(3x2+3xh+h2). Logo

Passo 5

Fazendo a divisão, obtemos
f(x+h)-f(x)h=3x^2+3xh+h^2
Agora aplicamos o limite quando h→0. Note que os termos 3xh e h^2 vão a zero.

Passo 6

Tomando o limite h→0, temos:
f'(x)=limhto0(3x^2+3xh+h^2)=3x^2+3xcdot0+0^2=3x^2

Resposta

A derivada de f(x)=x^3 é f’(x)=3x^2.

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