Calcule a derivada da função dada pela definição, considerando
e
.
Passo 1
Temos a função f(x)=x^3 e queremos calcular a sua derivada f’(x) usando a definição de derivada. O conteúdo principal aqui é o limite do quociente de diferença e vamos usar a definição
A definição de derivada de f em x é dada por
Passo 2
Primeiro, calculamos f(x+h). Como f(x)=x^3, substituímos x por x+h:
Para expandir, usamos o binômio de Newton: (x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h^3.
Passo 3
Em seguida, calculamos a diferença f(x+h)−f(x):
Passo 4
Agora, dividimos essa diferença por h para formar o quociente de diferença:
Podemos fatorar h no numerador: 3x2h+3xh2+h^3 = h(3x2+3xh+h2). Logo
Passo 5
Fazendo a divisão, obtemos
Agora aplicamos o limite quando h→0. Note que os termos 3xh e h^2 vão a zero.
Passo 6
Tomando o limite h→0, temos:
Resposta
A derivada de f(x)=x^3 é f’(x)=3x^2.