Determine a série de Taylor de f em torno de a e o respectivo raio de convergência, para:
f(x)=(x-2)^2 e a=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor (no caso, Maclaurin) de f(x) = (x−2)² em torno de a = 0 e o raio de convergência. Vamos usar a definição de série de Taylor em torno de zero: f(x) = ∑ₙ₌₀^∞ f⁽ⁿ⁾(0)/n! · xⁿ.

Passo 2

Para encontrar os coeficientes, calculamos as derivadas de f e avaliamos em x = 0:
f(x) = (x−2)²
f⁽¹⁾(x) = 2(x−2)
f⁽²⁾(x) = 2
f⁽ⁿ⁾(x) = 0 para n ≥ 3
Então:
f(0) = (0−2)² = 4
f⁽¹⁾(0) = 2(0−2) = -4
f⁽²⁾(0) = 2
f⁽ⁿ⁾(0) = 0 para n ≥ 3

Passo 3

Substituímos na fórmula da série de Maclaurin:
Para n=0: f(0)/0! · x⁰ = 4
Para n=1: f⁽¹⁾(0)/1! · x¹ = -4x
Para n=2: f⁽²⁾(0)/2! · x² = 2/2 · x² = x²
Para n ≥ 3: termo zero
Logo a série fica 4 − 4x + x².

Passo 4

Polinômios têm raio de convergência infinito, pois sua série termina em grau finito e não há dependência de n para convergência além desse grau.

Resposta

f(x)=4 - 4x + x^2, com raio de convergência R=infty.

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