Para cada uma das funções abaixo, desenhe as curvas de nível para os níveis k indicados:
f(x, y)=y^2-3 x^2+2, para k=-4, k=-1, k=7 e k=11.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função
f(x,y)=y^2-3x^2+2
nos níveis k=-4,,-1,,7,,11. O conteúdo aqui é classificação de cônicas (hipérbolas) através da equação f(x,y)=k e sua reescrita em forma canônica.

Passo 2

Igualando f(x,y) a um nível k temos
y^2-3x^2+2=k
ou seja
y^2-3x^2 = k-2
Denote C=k-2. Se C>0 a curva é uma hipérbola de eixo transverso vertical; se C<0, hipérbola de eixo transverso horizontal. As assíntotas são sempre
y=pmraiz3,x

Passo 3

Para k=-4 temos C=-4-2=-6<0, logo
y^2-3x^2=-6 Longrightarrow 3x^2 - y^2 =6
Em forma canônica:
x^22-y^26=1
É uma hipérbola com eixo principal horizontal, vértices em l(pmraiz2,0r) e assíntotas y=pmraiz3,x.

Passo 4

Para k=-1 temos C=-1-2=-3<0, logo
y^2-3x^2=-3 Longrightarrow 3x^2 - y^2 =3
Forma canônica:
x^21-y^23=1
Também hipérbola horizontal, vértices em l(pm1,0r) e assíntotas y=pmraiz3,x.

Passo 5

Para k=7 temos C=7-2=5>0, logo
y^2-3x^2=5
Em forma canônica:
y^25-x^2tfrac53=1
É uma hipérbola com eixo principal vertical, vértices em l(0,pmraiz5r) e assíntotas y=pmraiz3,x.

Passo 6

Para k=11 temos C=11-2=9>0, logo
y^2-3x^2=9
Forma canônica:
y^29-x^23=1
Hipérbola vertical, vértices em l(0,pm3r) e mesmas assíntotas y=pmraiz3,x.

Resposta

k = -4 curva 3x^2 - y^2 = 6, hipérbola horizontal com vértices (pmraiz2, 0) e assíntotas y = pmraiz3x
k = -1 curva 3x^2 - y^2 = 3, hipérbola horizontal com vértices (pm 1, 0) e assíntotas y = pmraiz3x
k = 7 curva y^2 - 3x^2 = 5, hipérbola vertical com vértices (0, pmraiz5) e assíntotas y = pmraiz3x
k = 11 curva y^2 - 3x^2 = 9, hipérbola vertical com vértices (0, pm 3) e assíntotas y = pmraiz3x

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