Calcular os limites seguintes:
Passo 1
O enunciado pede o limite, para
, da função de duas variáveis
tratando
como constante. O conteúdo é cálculo de limite em variável que gera indeterminação do tipo
. Vamos primeiro tentar substituição direta e, se der
, recorrer à fatoração.
Passo 2
Substituindo
diretamente em numerador e denominador:
Para
isso não é
; mas para
ou
aparece indeterminação ou divisão por zero. Então vamos fatorar em geral antes de substituir.
Passo 3
Fatoramos numerador e denominador em função de
:
Como no limite
temos
(exceto pontualmente em
, que trataremos depois), podemos cancelar o fator comum
:
Passo 4
Agora tomamos
nessa forma já simplificada:
Isso vale sempre que o denominador
, ou seja, para
.
Passo 5
– Para
: a forma simplificada dá
, que coincide com o limite direto do caso indeterminado inicial.
– Para : o denominador vira zero e o numerador tende a
, logo o limite diverge (não existe finitamente).
– Para
Resposta
Em particular, para
esse valor é
, e para
o limite diverge (não existe finito).