Calcular os limites seguintes:
lim y 2 x^3-x^2 yx^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite, para yto2, da função de duas variáveis
f(x,y)=x^3-x^2y,x^2-y^2,,
tratando x como constante. O conteúdo é cálculo de limite em variável que gera indeterminação do tipo 0/0. Vamos primeiro tentar substituição direta e, se der 0/0, recorrer à fatoração.

Passo 2

Substituindo y=2 diretamente em numerador e denominador:
num = x^3-x^2cdot2 = x^2(x-2), den = x^2-2^2=x^2-4
Para xneqpm2 isso não é 0/0; mas para x=2 ou x=-2 aparece indeterminação ou divisão por zero. Então vamos fatorar em geral antes de substituir.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador em função de y:
x^3-x^2y = x^2(x-y), x^2-y^2 = (x-y)(x+y)
Como no limite yto2 temos yneq x (exceto pontualmente em x=2, que trataremos depois), podemos cancelar o fator comum x-y:
x^3-x^2y,x^2-y^2, =x^2(x-y)(x-y)(x+y) =x^2x+y, yneq x

Passo 4

Agora tomamos yto2 nessa forma já simplificada:
limyto2x^2x+y =x^2x+2
Isso vale sempre que o denominador x+2neq0, ou seja, para xneq -2.

Passo 5

– Para x=2: a forma simplificada dá tfrac2^22+2=1, que coincide com o limite direto do caso indeterminado inicial.
– Para x=-2: o denominador vira zero e o numerador tende a 4, logo o limite diverge (não existe finitamente).

Resposta

limyto2x^3-x^2y,x^2-y^2, =x^2x+2, xneq -2
Em particular, para x=2 esse valor é 1, e para x=-2 o limite diverge (não existe finito).

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