Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o limite da função existe quando o ponto se aproxima de . A função é definida assim:
Aqui, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e algumas propriedades das funções trigonométricas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir. Queremos ver se, conforme (x, y) se aproxima de (0, 0) , os valores de f(x, y) se aproximam de um único valor. Se isso acontecer, dizemos que o limite existe e é esse valor.
Passo 3
Olha só, a função tem duas partes. Para y neq 0 , temos f(x, y) = x cdot sin(1y) . A função seno, sin , sempre está entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= sin(1y) <= 1
Passo 4
Então, multiplicando ambos os lados dessa desigualdade por |x| (que é sempre positivo), obtemos:
-|x| <= x cdot sin(1y) <= |x|
Isso significa que o valor absoluto de f(x, y) é no máximo |x| :
|f(x, y)| = |x cdot sin(1y)| <= |x|
Passo 5
Agora, vamos pensar no que acontece quando (x, y) se aproxima de (0, 0) . Se x tende a 0, então |x| também tende a 0. Como |f(x, y)| <= |x| , isso significa que f(x, y) está ficando cada vez mais próximo de 0.
Passo 6
Além disso, para y = 0 , a função já está definida como 0. Então, independente do caminho que tomarmos para chegar em (0, 0) , o valor de f(x, y) está se aproximando de 0.
Resposta
O limite da função f(x, y) quando (x, y) tende a (0, 0) é igual a 0.