Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o limite da função f(x, y) existe quando o ponto (x, y) se aproxima de (0, 0) . A função é definida assim:
f(x, y) = x cdot sin(1y), & se y neq 0 0, & se y = 0
Aqui, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e algumas propriedades das funções trigonométricas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir. Queremos ver se, conforme (x, y) se aproxima de (0, 0) , os valores de f(x, y) se aproximam de um único valor. Se isso acontecer, dizemos que o limite existe e é esse valor.

Passo 3

Olha só, a função tem duas partes. Para y neq 0 , temos f(x, y) = x cdot sin(1y) . A função seno, sin , sempre está entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= sin(1y) <= 1

Passo 4

Então, multiplicando ambos os lados dessa desigualdade por |x| (que é sempre positivo), obtemos:
-|x| <= x cdot sin(1y) <= |x|
Isso significa que o valor absoluto de f(x, y) é no máximo |x| :
|f(x, y)| = |x cdot sin(1y)| <= |x|

Passo 5

Agora, vamos pensar no que acontece quando (x, y) se aproxima de (0, 0) . Se x tende a 0, então |x| também tende a 0. Como |f(x, y)| <= |x| , isso significa que f(x, y) está ficando cada vez mais próximo de 0.

Passo 6

Além disso, para y = 0 , a função já está definida como 0. Então, independente do caminho que tomarmos para chegar em (0, 0) , o valor de f(x, y) está se aproximando de 0.

Resposta

O limite da função f(x, y) quando (x, y) tende a (0, 0) é igual a 0.

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