Para cada uma das funções abaixo, determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
f(x)=raiz4 x^2+9

Passo 1

O enunciado pede para achar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função f(x)=raiz4x^2+9. Vamos usar domínio e estudo de limites no infinito para resolver.

Passo 2

Identificamos o domínio e as assíntotas verticais. Como o radicando 4x^2+9 é sempre positivo, a função está definida para todo xinR, não havendo pontos de descontinuidade nem assíntotas verticais.

Passo 3

Estudamos xto+infty. Fatorando x^2 dentro da raiz obtemos:
f(x)=raiz4x^2+9=2xraiz1+94x^2, x>0
Para grandes x, usamos o desenvolvimento raiz1+varepsilonapprox1+tfracvarepsilon2. Então
f(x)approx2xl(1+98x^2r)=2x+94x
Isso mostra que, à medida que xto+infty, a curva se aproxima da reta y=2x, que é uma assíntota oblíqua.

Passo 4

Estudamos xto-infty. Para x<0 temos raiz4x^2+9=-2xraiz1+94x^2. Expandindo de modo análogo,
f(x)approx-2x+94(-x)=-2x+termo que tende a 0,
portanto a reta y=-2x é assíntota oblíqua quando xto-infty. Não aparece nenhuma assíntota horizontal porque os limites no infinito não são constantes.

Resposta

Assíntotas verticais: nenhuma. Assíntotas horizontais: nenhuma. Assíntotas oblíquas: y=2x (para xto+infty) e y=-2x (para xto-infty).

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