Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
integral raizx^2+1x^2 d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral raizx^2+1x^2,dx usando técnica de substituição. O conteúdo principal aqui é reconhecer que expressões do tipo raizx^2+1 sugerem a substituição hiperbólica, usando as identidades de funções hiperbólicas.

Passo 2

Fazemos a substituição x=sinh(u). Daí temos:
raizx^2+1=raizsinh^2(u)+1=cosh(u),
dx=cosh(u),du,
x^2=sinh^2(u)
Substituindo na integral, vem
integral raizx^2+1x^2,dx=integral cosh(u)sinh^2(u)cdotcosh(u),du=integral cosh^2(u)sinh^2(u),du=integral coth^2(u),du

Passo 3

Usamos a identidade hiperbólica

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Passo 4

Voltando à variável x:
u=arsinh(x)=lnl(x+raizx^2+1r) e
coth(u)=cosh(u)sinh(u)=raizx^2+1x
Assim a antiderivada fica
u-coth(u)+C1=lnl(x+raizx^2+1r)-raizx^2+1x+C

Resposta

-\frac{\sqrt{x2+1}}{x}+\ln\bigl|x+\sqrt{x2+1}\bigr|+C

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