Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
integral x^5raizx^2-1 d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^5raizx^2-1,dx usando técnica de substituição. O conteúdo é integral por substituição, e vamos precisar escolher uma substituição que simplifique x^2-1 e também trate o x^5.

Passo 2

Vamos definir u = x^2 - 1. Aí temos du = 2x,dx, ou seja x,dx = tfrac12,du. Além disso, note que x^2 = u + 1, então x^4 = (x^2)^2 = (u+1)^2.

Passo 3

Reescrevendo a integral original em termos de u:
integral x^5raizx^2-1,dx = integral x^4 cdot x,dxraizu = integral (u+1)^2 cdot l(tfrac12dur)u^1/2 = 12 integral (u+1)^2 u^-1/2,du
Expandindo (u+1)^2 = u^2 + 2u +1 temos
12 integral l(u^2 + 2u +1r) u^-1/2,du = 12 integral l(u^3/2 + 2u^1/2 + u^-1/2r) du

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral u^3/2,du = 25u^5/2, integral 2u^1/2,du = 2 cdot 23u^3/2 = 43u^3/2, integral u^-1/2,du = 2u^1/2
Multiplicando tudo por tfrac12
12l(25u^5/2 + 43u^3/2 + 2u^1/2r) = 15u^5/2 + 23u^3/2 + u^1/2 + C

Passo 5

Voltando a u = x^2-1, a resposta final é
(x^2-1)^5/25 + 2,(x^2-1)^3/23 + (x^2-1)^1/2 + C

Resposta

\frac{(x{2}-1){5/2}}{5} + \frac{2,(x{2}-1){3/2}}{3} + (x{2}-1){1/2} + C

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