Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto
com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja sobrejetora. Justifique a sua resposta.
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede a maior escolha de B que torne a função f: ℝ → B, f(x)=(x−2)²−2 sobrejetora. O conteúdo envolvido é imagem de uma função quadrática — ou seja, precisamos achar todos os valores y que f pode assumir.
Passo 2
Para encontrar a imagem, note que podemos usar a substituição t = x−2, de modo que f(x)=t²−2. Como t² é sempre ≥0 e atinge o mínimo 0 em t=0, temos que f(x) tem mínimo f(2)=0−2=−2 e cresce sem limite para t→±∞. Ou seja, a imagem de f é o intervalo [−2,∞).
Passo 3
Como uma função é sobrejetora quando o contradomínio B coincide exatamente com sua imagem, a maior escolha possível de B é o próprio intervalo [−2,∞).
Resposta
B = [−2,\infty)