Considere a sequencia definida por
l a0=1 a1=2 an=4 an-1-4 an-2
Mostre que an=2^n para todo n >= 0.

Passo 1

O enunciado define a sequência an por a0=1, a1=2 e a recorrência de segunda ordem an = 4an-1 - 4an-2. Este problema cai na matéria de equações de recorrência lineares com coeficientes constantes, e vamos usar o método do polinômio característico para resolver.

Passo 2

Começamos escrevendo o polinômio característico associado à recorrência. Ele vem de trocar an por lambda^n:
lambda^2 - 4lambda + 4 = 0

Passo 3

Resolvendo essa equação, notamos que é um quadrado perfeito. De fato, ela se fatoriza assim:
(lambda-2)^2 = 0
Logo, temos uma raiz dupla lambda=2 de multiplicidade 2. Na teoria, quando a raiz é dupla, a solução geral da recorrência é:
an = (C1 + C2,n),2^n

Passo 4

Agora usamos as condições iniciais para achar C1 e C2. Para n=0 temos:
a0 = (C1 + C2cdot0),2^0 = C1 = 1
Para n=1:
a1 = (C1 + C2cdot1),2^1 = 2(C1 + C2) = 2
Como C1 = 1, segue que 2(1 + C2) = 2 implica C2 = 0.

Passo 5

Substituindo C1=1 e C2=0 na solução geral, obtemos
an = (1 + 0cdot n),2^n = 2^n
e assim mostramos que an = 2^n para todo n>=0.

Resposta

a_n = 2^n

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