O enunciado define a sequência an por a0=1,a1=2 e a recorrência de segunda ordem an = 4an-1 - 4an-2. Este problema cai na matéria de equações de recorrência lineares com coeficientes constantes, e vamos usar o método do polinômio característico para resolver.
Passo 2
Começamos escrevendo o polinômio característico associado à recorrência. Ele vem de trocar an por lambda^n:
lambda^2 - 4lambda + 4 = 0
Passo 3
Resolvendo essa equação, notamos que é um quadrado perfeito. De fato, ela se fatoriza assim:
(lambda-2)^2 = 0
Logo, temos uma raiz dupla lambda=2 de multiplicidade 2. Na teoria, quando a raiz é dupla, a solução geral da recorrência é:
an = (C1 + C2,n),2^n
Passo 4
Agora usamos as condições iniciais para achar C1 e C2. Para n=0 temos:
a0 = (C1 + C2cdot0),2^0 = C1 = 1
Para n=1:
a1 = (C1 + C2cdot1),2^1 = 2(C1 + C2) = 2
Como C1 = 1, segue que 2(1 + C2) = 2 implica C2 = 0.
Passo 5
Substituindo C1=1 e C2=0 na solução geral, obtemos