Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto
com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja injetora. Justifique a sua resposta.
(b)
(b)
Passo 1
Temos a função f : A→ℝ dada por f(x)=x². O objetivo é escolher A com o maior número de elementos para que f seja injetora. Vamos usar a definição de injetora: f(x₁)=f(x₂) implica x₁=x₂.
Passo 2
Note que para qualquer x∈ℝ vale f(x)=x²=f(−x). Ou seja, se permitirmos x e −x juntos em A (com x≠0), teríamos f(x)=f(−x) mas x≠−x, violando a injetividade. Para evitar esse “efeito de espelho”, precisamos excluir de A ou todos os negativos ou todos os positivos (exceto o zero, que não causa problema).
Passo 3
A escolha natural é tomar A como o conjunto dos números não negativos:
Nesse domínio, sempre que x₁²=x₂² temos x₁=|x₁|=|x₂|=x₂, pois tanto x₁ quanto x₂ são ≥0. Logo f é injetora em A.
Passo 4
Não é possível incluir mais pontos em A (por exemplo, incluir algum x<0) sem perder a injetividade, porque então x e −x dariam a mesma imagem. Portanto A=[0,∞) é maximal.
Passo 5
Assim, o conjunto A de maior tamanho em que f(x)=x² é injetora é [0,∞).
Resposta
A=[0,\infty)