Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto B com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja sobrejetora. Justifique a sua resposta.
© f: R B, f(x)=x^2-2

Passo 1

A função dada é f: Rto B com f(x)=x^2-2. O conteúdo aqui é sobrejetividade: pedir para escolher o conjunto-alvo B de modo que todo valor em B seja atingido por algum xinR. Para isso vamos precisar calcular a imagem (contradomínio efetivo) de f.

Passo 2

Sabendo que para todo xinR vale x^2>=0, temos x^2-2>= -2. Além disso, como limxtopminfty(x^2-2)=+infty e f(0)=-2, vemos que todos os valores maiores que -2 são realmente atingidos por x^2-2.

Passo 3

Portanto, o conjunto imagem de f é
Im(f)=yinR:y>= -2=[-2,infty)

Passo 4

Para que f seja sobrejetora, o conjunto B deve ser exatamente igual à imagem de f. Assim não sobrará nenhum elemento de B que não seja atingido por f, e ao mesmo tempo não podemos incluir elementos fora da imagem sem perder a sobrejetividade.

Passo 5

Como queremos o maior conjunto possível que preserve a sobrejetividade, escolhemos

Resposta

B=[-2,infty), pois assim f mapeia R de forma sobrejetora em B, e não é possível incluir valores fora de [-2,infty) sem deixar de ser sobrejetora.

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