Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) f é injetora e (ii) f é sobrejetora.
(g) f: Z R, f(x)=x^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por . O objetivo aqui é verificar se essa função é injetora e se é sobrejetora. Pra isso, vamos usar os conceitos de injeção e sobrejeção na matemática. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então . Ou seja, cada valor de saída é atingido por no máximo um valor de entrada.
No nosso caso, . Vamos ver se isso acontece.

Passo 3

Vamos testar dois valores diferentes de f(2) = 2^2 = 4 e ver se a função retorna o mesmo valor. Por exemplo, pega f(-2) = (-2)^2 = 4 e .
Calculando:
Viu só? Diferentes valores de deram o mesmo resultado de . Isso significa que a função não é injetora, porque tem mais de um que resulta no mesmo .

Passo 4

Agora vamos ver se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo no conjunto de chegada ( nesse caso), existe pelo menos um no conjunto de partida ( ) tal que .
Vamos pensar se dá pra chegar em todo número real usando onde é um inteiro.

Passo 5

Claro que não! Por exemplo, tenta achar um inteiro tal que . A raiz quadrada de 2 não é um número inteiro, então não existe nenhum que satisfaça . Como nem todo tem um correspondente , a função não é sobrejetora.

Resposta

A função não é injetora e também não é sobrejetora.

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