Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
(g)
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função
definida por
. O objetivo aqui é verificar se essa função é injetora e se é sobrejetora. Pra isso, vamos usar os conceitos de injeção e sobrejeção na matemática. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então
. Ou seja, cada valor de saída é atingido por no máximo um valor de entrada.
No nosso caso,
. Vamos ver se isso acontece.
Passo 3
Vamos testar dois valores diferentes de
e ver se a função retorna o mesmo valor. Por exemplo, pega
e
.
Calculando:
Viu só? Diferentes valores de
deram o mesmo resultado de
. Isso significa que a função não é injetora, porque tem mais de um
que resulta no mesmo
.
Passo 4
Agora vamos ver se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo
no conjunto de chegada (
nesse caso), existe pelo menos um
no conjunto de partida (
) tal que
.
Vamos pensar se dá pra chegar em todo número real usando
onde
é um inteiro.
Passo 5
Claro que não! Por exemplo, tenta achar um inteiro
tal que
. A raiz quadrada de 2 não é um número inteiro, então não existe nenhum
que satisfaça
. Como nem todo
tem um correspondente
, a função não é sobrejetora.
Resposta
A função
não é injetora e também não é sobrejetora.