Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto B com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja sobrejetora. Justifique a sua resposta.
(b) f: R B, f(x)=x^2

Passo 1

O enunciado pede para achar o maior conjunto B tal que a função f: Rto B, f(x)=x^2, seja sobrejetora, ou seja, para todo bin B exista xinR com f(x)=b.

Passo 2

Precisamos usar o conceito de imagem de uma função: a imagem de f é o conjunto de valores que f(x) realmente assume quando x varia em R. Na teoria, para que f seja sobrejetora em B, devemos escolher B=Im(f).

Passo 3

Analisando f(x)=x^2, vemos que para todo xinR vale x^2>=0. Portanto, não há pré-imagem para valores negativos. Por outro lado, para qualquer y>=0 podemos achar x=raizy ou x=-raizy tal que x^2=y.

Passo 4

Concluímos que a imagem de f é o intervalo [0,infty). Logo, para que f seja sobrejetora, o maior conjunto possível é exatamente esse intervalo.

Resposta

B=[0,infty)

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