Exercício 6. Calcule a convolução das funções.
Passo 1
A questão pede a convolução das funções exponenciais causais f(t)=e^t·u(t) e g(t)=e^{−t}·u(t). O conteúdo é convolução de sinais contínuos, e vamos precisar usar a definição do integral de convolução para sinais causais.
Passo 2
A definição de convolução para sinais causais é dada por
Substituindo f(τ)=e^{τ} e g(t−τ)=e^{−(t−τ)} temos
$$
f*g
t
int_{0}{t}e{τ},e^{−(t−τ)},dτ
$$
Passo 3
No integrando, combine expoentes:
Então o integral fica
$$
f*g
t
int_{0}{t}e{−t+2τ},dτ
e{−t}int_{0}{t}e^{2τ},dτ
$$
Passo 4
Calcule o integral de e^{2τ}:
$$
int_{0}{t}e{2τ},dτ
\frac{e{2τ}}{2}\Big|_{0}{t}
\frac{e^{2t}−1}{2}
f*g
t
e{−t}\cdot\frac{e{2t}−1}{2}
=\frac{e{t}−e{−t}}{2}
=\frac{e{t}−e{−t}}{2}
$$
Passo 5
O resultado vale para t≥0 (pois usamos sinal causal). Para t<0 a convolução é zero. O resultado é a função hiperbólica sinh(t).
Resposta
(f*g)(t)=