Exercício 6. Calcule a convolução das funções.
e^t * e^-t

Passo 1

A questão pede a convolução das funções exponenciais causais f(t)=e^t·u(t) e g(t)=e^{−t}·u(t). O conteúdo é convolução de sinais contínuos, e vamos precisar usar a definição do integral de convolução para sinais causais.

Passo 2

A definição de convolução para sinais causais é dada por
f*g t equals int0^tf(τ),g(t−τ),dτ
Substituindo f(τ)=e^{τ} e g(t−τ)=e^{−(t−τ)} temos
$$
f*g
t

int_{0}{t}e{τ},e^{−(t−τ)},dτ
$$

Passo 3

No integrando, combine expoentes:
e^τe^−(t−τ)=e^τ−t+τ=e^−t+2τ
Então o integral fica
$$
f*g
t

int_{0}{t}e{−t+2τ},dτ

e{−t}int_{0}{t}e^{2τ},dτ
$$

Passo 4

Calcule o integral de e^{2τ}:
$$
int_{0}{t}e{2τ},dτ

\frac{e{2τ}}{2}\Big|_{0}{t}

\frac{e^{2t}−1}{2}
int0^te^2τ,dτ = e^2τ2|0^t = e^2t−12
f*g
t

e{−t}\cdot\frac{e{2t}−1}{2}
=\frac{e{t}−e{−t}}{2}
$$

Passo 5

O resultado vale para t≥0 (pois usamos sinal causal). Para t<0 a convolução é zero. O resultado é a função hiperbólica sinh(t).

Resposta

(f*g)(t)= e^t−e^−t2,&t>=00,&t<0

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