Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto
com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja sobrejetora. Justifique a sua resposta.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o conjunto
com o maior número de elementos possível, de modo que a função
, definida por
, seja sobrejetora. Isso significa que queremos que, para todo elemento em
, exista pelo menos um
em
tal que
dê esse elemento. Vamos precisar entender o que é uma função sobrejetora e analisar o comportamento da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função sobrejetora. Uma função é sobrejetora (ou sobrejetiva) quando sua imagem cobre todo o conjunto de chegada
. Ou seja, para cada
, existe pelo menos um
tal que
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. O valor absoluto
sempre dá um resultado não negativo, ou seja,
para todo
. Portanto,
vai variar a partir de
, já que
pode ser zero.
Passo 4
Vamos determinar o conjunto imagem dessa função. Como
, temos:
E, conforme
aumenta,
também aumenta sem limite superior. Logo, a imagem da função
é:
Passo 5
Para que a função seja sobrejetora, o conjunto
precisa ser exatamente a imagem da função, ou seja, todos os valores
pode assumir. Se escolhermos
maior que
, não teremos cobertura total. Se escolhermos
menor, como um intervalo menor dentro de
, não estaremos aproveitando todo o potencial da função.
Resposta
O conjunto
com o maior número de elementos possível para que a função
seja sobrejetora é
.