Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto B com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja sobrejetora. Justifique a sua resposta.
(g) f: R B, f(x)=|x|-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o conjunto com o maior número de elementos possível, de modo que a função , definida por , seja sobrejetora. Isso significa que queremos que, para todo elemento em , exista pelo menos um em tal que dê esse elemento. Vamos precisar entender o que é uma função sobrejetora e analisar o comportamento da função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função sobrejetora. Uma função é sobrejetora (ou sobrejetiva) quando sua imagem cobre todo o conjunto de chegada . Ou seja, para cada , existe pelo menos um tal que .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . O valor absoluto sempre dá um resultado não negativo, ou seja, para todo . Portanto, vai variar a partir de , já que pode ser zero.

Passo 4

Vamos determinar o conjunto imagem dessa função. Como f(x) = |x| - 2 >= 0 - 2 = -2 , temos:
Ima>=m(f) = [-2, +infty)
E, conforme aumenta, também aumenta sem limite superior. Logo, a imagem da função é:

Passo 5

Para que a função seja sobrejetora, o conjunto precisa ser exatamente a imagem da função, ou seja, todos os valores pode assumir. Se escolhermos maior que , não teremos cobertura total. Se escolhermos menor, como um intervalo menor dentro de , não estaremos aproveitando todo o potencial da função.

Resposta

O conjunto com o maior número de elementos possível para que a função seja sobrejetora é .

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