Exercício 6. Calcule a convolução das funções.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a convolução das funções f(t)=1 e g(t)=sen(ωt), ou seja, (f*g)(t). O conteúdo é o de sinais e sistemas, usando a definição de convolução causal: integrar de 0 até t.
Passo 2
A definição de convolução causal é
Aqui temos f(τ)=1 e g(t-τ)=sen\bigl(ω(t-τ)\bigr).
Passo 3
Substituindo na definição, obtemos
Podemos usar a mudança de variável u=t-τ, mas também notamos que integrar sen(ω(t-τ)) de τ=0 até τ=t é igual a integrar sen(ωu) de u=0 até u=t.
Como sin(ωu) é função ímpar deslocada, fazemos direto
Como sin(ωu) é função ímpar deslocada, fazemos direto
Sabendo que cos(0)=1, isso vira (1−cos(ωt))/ω.
Passo 4
Portanto, a convolução é dada por (1−cos(ωt))/ω.