Exercício 6. Calcule a convolução das funções.
1 * sen(omega t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução das funções f(t)=1 e g(t)=sen(ωt), ou seja, (f*g)(t). O conteúdo é o de sinais e sistemas, usando a definição de convolução causal: integrar de 0 até t.

Passo 2

A definição de convolução causal é
(f*g)(t)=integral0^tf(τ),g(t-τ),dτ
Aqui temos f(τ)=1 e g(t-τ)=sen\bigl(ω(t-τ)\bigr).

Passo 3

Substituindo na definição, obtemos
(1*sen(ωt))(t)=integral0^t1cdot senl(ω(t-τ)r),dτ
Podemos usar a mudança de variável u=t-τ, mas também notamos que integrar sen(ω(t-τ)) de τ=0 até τ=t é igual a integrar sen(ωu) de u=0 até u=t.
Como sin(ωu) é função ímpar deslocada, fazemos direto
integral0^tsen(ωu),du=l[-cos(ωu)ωr]0^t= -cos(ωt)ω+cos(0)ω
Sabendo que cos(0)=1, isso vira (1−cos(ωt))/ω.

Passo 4

Portanto, a convolução é dada por (1−cos(ωt))/ω.

Resposta

1-cos(omega t)omega

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