Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto
com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja sobrejetora. Justifique a sua resposta.
(d)
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
, onde
. A tarefa é encontrar o conjunto
com o maior número possível de elementos, de modo que a função seja sobrejetora (ou sobremapeante). Isso significa que para todo elemento
em
, existe pelo menos um
em
tal que
.
Matéria envolvida: Funções, imagem da função, e sobrejetividade.
O que vamos precisar: Entender como a função
se comporta e qual é o seu conjunto imagem.
Passo 2
Vamos analisar a função
. Sabemos que ao elevar qualquer número real ao quadrado, o resultado será sempre não negativo. Ou seja,
para todo
em
.
Isso nos diz que os possíveis valores de
começam em 0 e vão até o infinito. Vamos visualizar isso: se
, então
. Conforme
se afasta de 2, seja para a direita ou para a esquerda,
cresce sem limites.
Passo 3
Agora, para a função ser sobrejetora, o conjunto
precisa conter exatamente todos os valores que
pode assumir. Como vimos que
nunca é negativo e pode crescer indefinidamente, o conjunto
mais abrangente que satisfaz essa condição é:
Isso significa que
inclui todos os números reais maiores ou iguais a zero.
Resposta
O conjunto
com o maior número de elementos possível para que a função
seja sobrejetora é
.