Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto B com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja sobrejetora. Justifique a sua resposta.
(d) f: R B, f(x)=(x-2)^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função , onde . A tarefa é encontrar o conjunto com o maior número possível de elementos, de modo que a função seja sobrejetora (ou sobremapeante). Isso significa que para todo elemento em , existe pelo menos um em tal que .
Matéria envolvida: Funções, imagem da função, e sobrejetividade.
O que vamos precisar: Entender como a função se comporta e qual é o seu conjunto imagem.

Passo 2

Vamos analisar a função . Sabemos que ao elevar qualquer número real ao quadrado, o resultado será sempre não negativo. Ou seja, para todo em .
Isso nos diz que os possíveis valores de começam em 0 e vão até o infinito. Vamos visualizar isso: se , então . Conforme se afasta de 2, seja para a direita ou para a esquerda, cresce sem limites.

Passo 3

Agora, para a função ser sobrejetora, o conjunto B = [0, +infty) precisa conter exatamente todos os valores que pode assumir. Como vimos que nunca é negativo e pode crescer indefinidamente, o conjunto mais abrangente que satisfaz essa condição é:
Isso significa que inclui todos os números reais maiores ou iguais a zero.

Resposta

O conjunto com o maior número de elementos possível para que a função seja sobrejetora é .

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