Em cada um dos Problemas de 1 a 12 . encontre a soluçâo geral da equaçâo diferencial dada.
3) y^prime prime-2 y^prime-3 y=-3 t e^-t

Passo 1

A equação diferencial é de 2ª ordem, linear e com coeficientes constantes, e o termo não-homogêneo é
-3t e^-t. Para resolver, vamos precisar achar primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois usar o método dos coeficientes a determinar para uma solução particular.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 2y' - 3y = 0
cuja equação característica é
r^2 - 2r - 3 = 0
Resolvendo em r, temos
r = 3 ou r = -1
Logo a solução homogênea é
yc(t) = C1 e^3t + C2 e^-t

Passo 3

Como o termo certo é
-3t e^-t e e^-t corresponde à raiz r=-1 (resonância de ordem 1), fazemos o palpite
yp(t) = (a t^2 + b t) e^-t

Passo 4

Calculamos as derivadas e substituímos em y'' - 2y' -3y:
Defina u(t)=a t^2 + b t. Então
yp = u e^-t, yp' = (u' - u)e^-t, yp'' = (u'' - 2u' + u)e^-t
Substituindo e igualando a -3t e^-t, obtemos o sistema para a e b, cujo resultado é
a = 38, b = 316

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = C1 e^3t + C2 e^-t + igl(tfrac38 t^2 + tfrac316tr)e^-t 

Resposta

y(t) = C_{1}e^{3t} + C_{2}e^{-t} + \Bigl(\tfrac{3}{8}t^{2} + \tfrac{3}{16}t\Bigr)e^{-t}

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