Em cada um dos Problemas de 1 a 12 . encontre a soluçâo geral da equaçâo diferencial dada.
Passo 1
A equação diferencial é de 2ª ordem, linear e com coeficientes constantes, e o termo não-homogêneo é
. Para resolver, vamos precisar achar primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois usar o método dos coeficientes a determinar para uma solução particular.
Passo 2
A parte homogênea é
cuja equação característica é
Resolvendo em r, temos
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Como o termo certo é
e
corresponde à raiz
(resonância de ordem 1), fazemos o palpite
Passo 4
Calculamos as derivadas e substituímos em
:
Defina . Então
Defina
Substituindo e igualando a
, obtemos o sistema para
e
, cujo resultado é
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Resposta
y(t) = C_{1}e^{3t} + C_{2}e^{-t} + \Bigl(\tfrac{3}{8}t^{2} + \tfrac{3}{16}t\Bigr)e^{-t}