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Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto
com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja injetora. Justifique a sua resposta.
(a)
Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida por
. O que a gente precisa fazer é encontrar o conjunto
com o maior número de elementos possível, de modo que essa função seja injetora. Para isso, vamos precisar entender o que é função injetora e como verificar se a nossa função aí é injetora.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma função injetora. Uma função é chamada de injetora ou um-para-um se, sempre que dois elementos diferentes no conjunto de partida
forem usados, eles vão gerar dois elementos diferentes no conjunto de chegada
. Em outras palavras, se
, então necessariamente
. Isso evita que dois elementos diferentes em
tenham a mesma imagem em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Essa é uma função linear, porque ela tem a forma
, onde
e
são constantes. O coeficiente de
aqui é
, que é diferente de zero (
). Funções lineares com coeficiente de
diferente de zero são sempre injetoras em todo o conjunto dos números reais
, porque cada valor de
gera um valor único de
.
Passo 4
Como a função
é injetora para todo
em
, o maior conjunto
que podemos escolher para garantir que a função seja injetora é justamente o conjunto dos números reais.
Resposta
O conjunto
com o maior número de elementos possível é
.