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Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto A com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja injetora. Justifique a sua resposta.
(a) f: A R, f(x)=2 x+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por . O que a gente precisa fazer é encontrar o conjunto com o maior número de elementos possível, de modo que essa função seja injetora. Para isso, vamos precisar entender o que é função injetora e como verificar se a nossa função aí é injetora.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma função injetora. Uma função é chamada de injetora ou um-para-um se, sempre que dois elementos diferentes no conjunto de partida forem usados, eles vão gerar dois elementos diferentes no conjunto de chegada . Em outras palavras, se , então necessariamente . Isso evita que dois elementos diferentes em tenham a mesma imagem em .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Essa é uma função linear, porque ela tem a forma , onde e são constantes. O coeficiente de aqui é , que é diferente de zero ( ). Funções lineares com coeficiente de diferente de zero são sempre injetoras em todo o conjunto dos números reais , porque cada valor de gera um valor único de .

Passo 4

Como a função é injetora para todo em , o maior conjunto que podemos escolher para garantir que a função seja injetora é justamente o conjunto dos números reais.

Resposta

O conjunto com o maior número de elementos possível é .

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