Use o método da variação dos parâmetros para resolver a equação diferencial.
y^prime-y=3 e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y' - y = 3e^x usando o método da variação de parâmetros. Este é um ODE linear de primeira ordem, em que vamos precisar da solução da homogênea e depois aplicar a ideia de variar a constante para achar uma particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada y' - y = 0. Isto dá yh' = yh, cuja solução geral é yh(x) = Ce^x, onde C é constante arbitrária.

Passo 3

No método da variação de parâmetros, substituímos essa constante C por uma função v(x). Logo, propomos yp(x) = v(x)e^x. Calculamos sua derivada:
yp'(x) = v'(x)e^x + v(x)e^x

Passo 4

Substituindo yp e yp' na equação original temos:
v'(x)e^x + v(x)e^x - v(x)e^x = 3e^x,
que simplifica para v'(x)e^x = 3e^x. Dividindo por e^x obtemos v'(x) = 3.

Passo 5

Integramos v'(x)=3 para achar v(x):
v(x) = 3x + K
Como o +K gera novamente a parte homogênea, podemos escolher v(x)=3x para a parte particular. Assim
yp(x)=3x e^x

Resposta

A solução geral é y(x)=Ce^x+3xe^x, onde C é constante arbitrária.

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