Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto
com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja injetora. Justifique a sua resposta.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por
. A tarefa é descobrir o conjunto
com o maior número de elementos possível para que essa função seja injetora. Isso quer dizer que cada elemento de
deve ligar-se a um único valor em
sem repetições. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma função injetora e como o módulo (
) influencia isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então necessariamente
. Em outras palavras, não pode haver dois elementos diferentes em
que mapeiem para o mesmo valor em
.
Agora, olhando para a nossa função
, percebemos que o módulo de
faz com que valores positivos e negativos de
tenham a mesma imagem. Por exemplo,
e
. Isso significa que se
contiver tanto
quanto
, a função não será injetora porque
.
Passo 3
Para garantir que a função seja injetora, precisamos evitar que dois números diferentes em
tenham o mesmo valor absoluto. Ou seja,
não pode conter tanto
quanto
para nenhum
.
A maneira de fazer isso é escolher
de forma que ele contenha apenas números não negativos ou apenas números não positivos. Por exemplo, se escolhermos
(todos os números reais maiores ou iguais a zero), não teremos dois números diferentes com o mesmo valor absoluto dentro de
.
Passo 4
Escolhendo
, vamos verificar a injetividade:
- Se
, então . - Como
e são não negativos, e . - Assim,
, o que implica que .
Portanto, a função é injetora nesse conjunto.
Resposta
O conjunto
com o maior número de elementos possível para que a função
seja injetora é
.