Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto A com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja injetora. Justifique a sua resposta.
(g) f: f: A R, f(x)=|x|-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por . A tarefa é descobrir o conjunto com o maior número de elementos possível para que essa função seja injetora. Isso quer dizer que cada elemento de deve ligar-se a um único valor em sem repetições. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma função injetora e como o módulo ( ) influencia isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então necessariamente . Em outras palavras, não pode haver dois elementos diferentes em que mapeiem para o mesmo valor em .
Agora, olhando para a nossa função , percebemos que o módulo de faz com que valores positivos e negativos de tenham a mesma imagem. Por exemplo, e . Isso significa que se contiver tanto quanto , a função não será injetora porque .

Passo 3

Para garantir que a função seja injetora, precisamos evitar que dois números diferentes em tenham o mesmo valor absoluto. Ou seja, não pode conter tanto quanto para nenhum .
A maneira de fazer isso é escolher de forma que ele contenha apenas números não negativos ou apenas números não positivos. Por exemplo, se escolhermos (todos os números reais maiores ou iguais a zero), não teremos dois números diferentes com o mesmo valor absoluto dentro de .

Passo 4

Escolhendo , vamos verificar a injetividade:
  • Se , então .
  • Como e são não negativos, e .
  • Assim, , o que implica que .
Portanto, a função é injetora nesse conjunto.

Resposta

O conjunto com o maior número de elementos possível para que a função seja injetora é .

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