Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto A com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja injetora. Justifique a sua resposta.
(e) f: A R, f(x)=(x-2)^2-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o maior conjunto possível tal que a função seja injetora. Isso está relacionado ao estudo de funções e, especificamente, à injetividade. A injetividade significa que cada elemento do conjunto de chegada ( no caso) é mapeado por, no máximo, um elemento do conjunto de partida ( ). Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função e identificar onde ela é uma função um-para-um.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da função . Essa é uma função quadrática, que representa uma parábola. O termo indica que a parábola está deslocada 2 unidades para a direita, e o no final a desce 2 unidades no eixo y. A parábola tem um vértice em e abre para cima.

Passo 3

Para que a função seja injetora, ela não pode ter dois valores diferentes de que resultem no mesmo . No caso das parábolas, isso acontece porque elas são simétricas em relação ao seu eixo de simetria. No nosso caso, o eixo de simetria é . Então, em toda parábola, para cada acima do vértice, há dois valores de que dão esse , um à esquerda e outro à direita do vértice.

Passo 4

Para evitar essa duplicidade e garantir que a função seja injetora, precisamos restringir o domínio a um lado do vértice. Ou seja, escolheremos apenas os valores de que estão à direita ou à esquerda do vértice . Assim, a função passa a ser estritamente crescente ou decrescente no conjunto escolhido, eliminando a possibilidade de valores repetidos.

Passo 5

Vamos optar por escolher como todos os maiores ou iguais a 2. Dessa forma, a função será estritamente crescente nessa região, garantindo que cada valor de resulte em um único valor de . O conjunto assim definido será .

Resposta

O conjunto com o maior número de elementos possível para que a função seja injetora é .

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