Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto
com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja injetora. Justifique a sua resposta.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o maior conjunto possível
tal que a função
seja injetora. Isso está relacionado ao estudo de funções e, especificamente, à injetividade. A injetividade significa que cada elemento do conjunto de chegada (
no caso) é mapeado por, no máximo, um elemento do conjunto de partida (
). Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função e identificar onde ela é uma função um-para-um.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da função
. Essa é uma função quadrática, que representa uma parábola. O termo
indica que a parábola está deslocada 2 unidades para a direita, e o
no final a desce 2 unidades no eixo y. A parábola tem um vértice em
e abre para cima.
Passo 3
Para que a função seja injetora, ela não pode ter dois valores diferentes de
que resultem no mesmo
. No caso das parábolas, isso acontece porque elas são simétricas em relação ao seu eixo de simetria. No nosso caso, o eixo de simetria é
. Então, em toda parábola, para cada
acima do vértice, há dois valores de
que dão esse
, um à esquerda e outro à direita do vértice.
Passo 4
Para evitar essa duplicidade e garantir que a função seja injetora, precisamos restringir o domínio
a um lado do vértice. Ou seja, escolheremos apenas os valores de
que estão à direita ou à esquerda do vértice
. Assim, a função passa a ser estritamente crescente ou decrescente no conjunto escolhido, eliminando a possibilidade de valores repetidos.
Passo 5
Vamos optar por escolher
como todos os
maiores ou iguais a 2. Dessa forma, a função será estritamente crescente nessa região, garantindo que cada valor de
resulte em um único valor de
. O conjunto
assim definido será
.
Resposta
O conjunto
com o maior número de elementos possível para que a função
seja injetora é
.