Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto
com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja injetora. Justifique a sua resposta.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa achar o conjunto
com o maior número de elementos possível, de forma que essa função seja injetora. Isso envolve entender o que é uma função injetora e como garantir que cada elemento de
mapeie para um valor único em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, para cada valor diferente de
em
, os valores de
também são diferentes. Em outras palavras, não pode ter dois elementos distintos em
que, ao serem aplicados na função, resultem no mesmo valor.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. Essa é uma função quadrática, e sabemos que ela tem a forma de uma parábola que abre para cima, com vértice no ponto
. Isso significa que a função não é injetora em todo o seu domínio, já que, por exemplo,
.
Passo 4
Para que a função seja injetora, precisamos restringir o conjunto
de forma que a função seja estritamente crescente ou estritamente decrescente. Olhando para a parábola, percebemos que:
- Para
, a função é estritamente crescente. - Para
, a função é estritamente decrescente.
Passo 5
Portanto, o maior conjunto
que podemos escolher para que a função seja injetora é aquele que corresponde a uma dessas regiões. Já que queremos o maior número de elementos possível, escolhemos um intervalo infinito.
Resposta
O conjunto
com o maior número de elementos possível é
ou
. Assim, a função
será injetora.