Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto A com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja injetora. Justifique a sua resposta.
(d) f: A R, f(x)=(x-2)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa achar o conjunto com o maior número de elementos possível, de forma que essa função seja injetora. Isso envolve entender o que é uma função injetora e como garantir que cada elemento de mapeie para um valor único em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, para cada valor diferente de em , os valores de também são diferentes. Em outras palavras, não pode ter dois elementos distintos em que, ao serem aplicados na função, resultem no mesmo valor.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . Essa é uma função quadrática, e sabemos que ela tem a forma de uma parábola que abre para cima, com vértice no ponto . Isso significa que a função não é injetora em todo o seu domínio, já que, por exemplo, .

Passo 4

Para que a função seja injetora, precisamos restringir o conjunto de forma que a função seja estritamente crescente ou estritamente decrescente. Olhando para a parábola, percebemos que:
  • Para , a função é estritamente crescente.
  • Para , a função é estritamente decrescente.

Passo 5

Portanto, o maior conjunto que podemos escolher para que a função seja injetora é aquele que corresponde a uma dessas regiões. Já que queremos o maior número de elementos possível, escolhemos um intervalo infinito.

Resposta

O conjunto com o maior número de elementos possível é ou . Assim, a função será injetora.

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