Determine a solução geral da equação homogênea:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea:
Isso pertence ao tema de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar montar a equação característica, encontrar suas raízes e, dependendo delas, construir a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, comparando:
Temos:
Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática que encontramos:
Para resolver uma equação quadrática da forma
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Vamos substituir:
Simplificando a raiz quadrada:
Então:
Passo 4
Encontramos duas raízes reais e distintas:
Como as raízes são reais e diferentes, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: