Determine a solução geral da equação homogênea:
y^prime prime+4 y^prime-2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea:
y'' + 4 y' - 2 y = 0
Isso pertence ao tema de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar montar a equação característica, encontrar suas raízes e, dependendo delas, construir a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma:
a y'' + b y' + c y = 0
A equação característica é:
a r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, comparando:
y'' + 4 y' - 2 y = 0
Temos:
  • 1 cdot r^2 + 4 cdot r - 2 = 0 ou r^2 + 4 r - 2 = 0
Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática que encontramos:
r^2 + 4 r - 2 = 0
Para resolver uma equação quadrática da forma r = -b pm raizb^2 - 4 a c 2 a , usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -4 pm raiz4^2 - 4 cdot 1 cdot (-2) 2 cdot 1 = -4 pm raiz16 + 8 2 = -4 pm raiz24 2
Aqui, raiz24 = 2 raiz6 , r = -4 pm 2 raiz6 2 = -2 pm raiz6 , e . Vamos substituir:
Simplificando a raiz quadrada:
Então:

Passo 4

Encontramos duas raízes reais e distintas:
r1 = -2 + raiz6 r2 = -2 - raiz6
Como as raízes são reais e diferentes, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Onde e são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^, (-2 + raiz6),x + C2 e^, (-2 - raiz6),x

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