Exercício 6. Calcule a convolução das funções.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a convolução das funções f(t)=t e g(t)=e^t. O conteúdo é convolução de funções no domínio do tempo, e vamos precisar usar a definição de convolução integral para funções causais (que valem zero para t<0).
Passo 2
A definição de convolução é dada por
Substituindo f(\tau)=\tau e g(t-\tau)=e^{t-\tau}, obtemos
Passo 3
Agora vamos calcular
usando integração por partes. Tome u=\tau e dv=e^{-\tau}d\tau, então du=d\tau e v=-e^{-\tau}. Assim:
E
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Passo 4
Substituindo de volta em (f*g)(t)=e^{t}I, temos
Resposta
$ (f*g)(t)=e^{t}-t-1 $