Exercício 6. Calcule a convolução das funções.
t * e^t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução das funções f(t)=t e g(t)=e^t. O conteúdo é convolução de funções no domínio do tempo, e vamos precisar usar a definição de convolução integral para funções causais (que valem zero para t<0).

Passo 2

A definição de convolução é dada por
(f*g)(t)=integral0^tf(tau),g(t-tau),dtau
Substituindo f(\tau)=\tau e g(t-\tau)=e^{t-\tau}, obtemos
(f*g)(t)=integral0^ttau,e^t-tau,dtau = e^tintegral0^ttau e^-tau,dtau

Passo 3

Agora vamos calcular
I=integral0^ttau e^-tau,dtau
usando integração por partes. Tome u=\tau e dv=e^{-\tau}d\tau, então du=d\tau e v=-e^{-\tau}. Assim:
I=l[ -tau e^-taur]0^t-integral0^t(-e^-tau),dtau = -t e^-t+0+integral0^te^-tau,dtau
E
integral0^te^-tau,dtau=l[-e^-taur]0^t=-e^-t+1
Logo
I= -t e^-t-e^-t+1=1-(t+1)e^-t

Passo 4

Substituindo de volta em (f*g)(t)=e^{t}I, temos
(f*g)(t)=e^tl[1-(t+1)e^-tr]=e^t-t-1

Resposta

$ (f*g)(t)=e^{t}-t-1 $

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