Exercício 4. Encontre a solução dos PVIs abaixo utilizando a transformada de Laplace.
y^prime prime+3 y^prime-4 y=6 e^2 t-3, y(3 / 2)=4, y^prime(3 / 2)=5

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI y''+3y'-4y=6e^2t-3 com condições iniciais y(3/2)=4, y'(3/2)=5. O conteúdo envolvido é transformada de Laplace em ODE. Vamos precisar lidar com condições iniciais num instante não nulo, então faremos uma mudança de variável para aplicar a transformada no instante zero.

Passo 2

Definimos tau=t-3/2 e z(tau)=y(tau+3/2). Então as condições iniciais ficam z(0)=4, z'(0)=5. A equação diferencial vira
z''+3z'-4z=6e^2(tau+3/2)-3=6e^2tau

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em tau. Usando Lz''=s^2Z(s)-sz(0)-z'(0), Lz'=sZ(s)-z(0) e Le^2tau=1/(s-2), obtemos a equação algébrica
(s^2Z(s)-4s-5)+3(sZ(s)-4)-4Z(s)=6s-2

Passo 4

Reorganizando,
Z(s)(s^2+3s-4) -4s -17 = 6s-2Rightarrow Z(s)=6/(s-2)+4s+17(s+4)(s-1)
Decompondo em frações parciais e invertendo a transformada, achamos
z(tau)=e^2tau+3e^tau

Passo 5

Voltando à variável original, temos y(t)=z(t-3/2). Portanto,
y(t)=e^2(t-3/2)+3e^(t-3/2)=e^2t-3+3e^t-3/2

Resposta

y(t)=e^2t-3+3e^t-3/2

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