Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto
com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja injetora. Justifique a sua resposta.
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Passo 1
Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar o maior conjunto possível
tal que a função
, definida por
, seja injetora. Para isso, vamos trabalhar com o conceito de funções injetoras e analisar como a função
se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função injetora. Uma função
é injetora se, para quaisquer
, sempre que
, então
. Em outras palavras, elementos diferentes de
não podem ter a mesma imagem em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Sabemos que
é uma função parabólica, que não é injetora em todo o seu domínio
, pois valores positivos e negativos de
resultam no mesmo valor de
. Portanto, para que
seja injetora, precisamos restringir o domínio
de forma que não tenhamos dois valores diferentes de
que resultem no mesmo
.
Passo 4
Uma maneira de garantir que a função
seja injetora é restringir
a um intervalo onde
seja uma função estritamente crescente ou estritamente decrescente. A função
é estritamente crescente para
e estritamente decrescente para
.
Passo 5
Para maximizar o número de elementos em
, escolhemos o maior intervalo possível onde
seja estritamente crescente ou decrescente. Por exemplo, podemos escolher
ou
. Ambos os conjuntos garantem que
seja injetora, pois não haverá dois valores diferentes de
no mesmo intervalo que resultem no mesmo
.
Resposta
O conjunto
com o maior número de elementos possível que torna
injetora é
ou
.