Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto A com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja injetora. Justifique a sua resposta.
© f: A R, f(x)=x^2-2

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar o maior conjunto possível tal que a função , definida por , seja injetora. Para isso, vamos trabalhar com o conceito de funções injetoras e analisar como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, para quaisquer , sempre que , então . Em outras palavras, elementos diferentes de não podem ter a mesma imagem em .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Sabemos que é uma função parabólica, que não é injetora em todo o seu domínio , pois valores positivos e negativos de resultam no mesmo valor de . Portanto, para que seja injetora, precisamos restringir o domínio de forma que não tenhamos dois valores diferentes de que resultem no mesmo .

Passo 4

Uma maneira de garantir que a função seja injetora é restringir a um intervalo onde seja uma função estritamente crescente ou estritamente decrescente. A função é estritamente crescente para e estritamente decrescente para .

Passo 5

Para maximizar o número de elementos em , escolhemos o maior intervalo possível onde seja estritamente crescente ou decrescente. Por exemplo, podemos escolher ou . Ambos os conjuntos garantem que seja injetora, pois não haverá dois valores diferentes de no mesmo intervalo que resultem no mesmo .

Resposta

O conjunto com o maior número de elementos possível que torna injetora é ou .

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