Determinar a solução geral da equação não-homogênea.
y^prime prime+y=cos ^2 x, x in(-infty, infty)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial não-homogênea . Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem, dividindo a solução em parte homogênea e particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . A solução dessa parte vai nos dar a base da solução geral.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, encontramos as raízes da equação característica: . Resolvendo, temos .

Passo 4

Com raízes complexas, a solução geral da homogênea é:
yh = C1 cos x + C2 sin x
onde e são constantes.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não-homogênea .

Passo 6

Vamos simplificar o lado direito usando a identidade trigonométrica:
cos^2 x = 1 + cos 2x2
Isso transforma a equação em:
y'' + y = 12 + cos 2x2

Passo 7

Vamos separar a solução particular em duas partes: uma para o termo constante e outra para o termo trigonométrico .

Passo 8

Para o termo constante 0 + A = 12 implies A = 12 , assumimos . Substituindo na equação:

Passo 9

Para o termo yp2 = B cos 2x + C sin 2x , assumimos uma solução da forma:
y'p2 = -2B sin 2x + 2C cos 2x
Calculamos as derivadas:
y''p2 = -4B cos 2x - 4C sin 2x
-4B cos 2x - 4C sin 2x + B cos 2x + C sin 2x = cos 2x2
Substituindo na equação:
-3B cos 2x - 3C sin 2x = cos 2x2
Simplificando:
-3B = 12 implies B = -16
Igualando os coeficientes:
-3C = 0 implies C = 0

Passo 10

Então, a solução particular fica:
yp = 12 - 16 cos 2x

Resposta

A solução geral da equação é:
y = C1 cos x + C2 sin x + 12 - 16 cos 2x
onde e são constantes.

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