Determinar a solução geral da equação não-homogênea.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial não-homogênea
. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem, dividindo a solução em parte homogênea e particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. A solução dessa parte vai nos dar a base da solução geral.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, encontramos as raízes da equação característica:
. Resolvendo, temos
.
Passo 4
Com raízes complexas, a solução geral da homogênea é:
onde
e
são constantes.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não-homogênea
.
Passo 6
Vamos simplificar o lado direito usando a identidade trigonométrica:
Isso transforma a equação em:
Passo 7
Vamos separar a solução particular em duas partes: uma para o termo constante
e outra para o termo trigonométrico
.
Passo 8
Para o termo constante
, assumimos
. Substituindo na equação:
Passo 9
Para o termo
, assumimos uma solução da forma:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Passo 10
Então, a solução particular fica:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
e
são constantes.