Determinar a solução geral da equação não-homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem não-homogênea que é
. A matéria que vamos precisar aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a combinação da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, escrevemos a equação característica:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo do lado direito é
, e já está presente na solução homogênea, vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Calculando as derivadas:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando, os termos com
se cancelam:
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.