Determinar a solução geral da equação não-homogênea.
y^prime prime+y=sen x, x in(-infty, infty)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem não-homogênea que é . A matéria que vamos precisar aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a combinação da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é r^2 + 1 = 0 . Para isso, escrevemos a equação característica:
r^2 = -1 implies r = pm i
Resolvendo para yc = C1 cos x + C2 sin x :
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp = x(A cos x + B sin x) para a equação completa yp' = A cos x + B sin x + x(-A sin x + B cos x) . Como o termo do lado direito é yp'' = -2A sin x + 2B cos x + x(-A cos x - B sin x) , e já está presente na solução homogênea, vamos tentar uma solução particular da forma:
yp'' + yp = (-2A sin x + 2B cos x) + x(-A cos x - B sin x) + x(A cos x + B sin x) = sin x
Onde -2A sin x + 2B cos x = sin x e -2A = 1 implies A = -12 são constantes que vamos determinar.
Calculando as derivadas:
2B = 0 implies B = 0
yp = -12 x cos x
Substituindo e na equação original:
Simplificando, os termos com se cancelam:
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 cos x + C2 sin x - 12 x cos x
Onde e são constantes arbitrárias.

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