Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto
com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja injetora. Justifique a sua resposta.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o conjunto
com o maior número possível de elementos, de modo que a função
seja injetora quando definida nesse conjunto. Ou seja, queremos que cada elemento de
tenha uma imagem única em
sem repetições. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função injetora e analisar o comportamento da função quadrática dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função
é injetora se, sempre que
, então
. Em outras palavras, não pode haver dois elementos diferentes em
que mapeiem para o mesmo valor em
.
No caso da função quadrática
, sabemos que funções quadráticas geralmente não são injetoras em todo o seu domínio porque elas têm a forma de parábola, o que significa que para alguns valores de
,
pode se repetir.
Passo 3
Para garantir que a função seja injetora, precisamos restringir o conjunto
a um intervalo onde a função seja monotônica, ou seja, sempre crescente ou sempre decrescente. Vamos encontrar o ponto onde a função muda sua direção, que é o vértice da parábola.
A fórmula para o vértice
de uma função quadrática
é:
No nosso caso,
e
, então:
Portanto, o vértice ocorre em
.
Passo 4
Sabendo que o vértice está em
, podemos determinar como a função se comporta nos intervalos à esquerda e à direita desse ponto:
- Para
: A função é decrescente. - Para
: A função é crescente. - No ponto
: A função atinge seu valor mínimo.
Em cada um desses intervalos, a função é monotônica, o que significa que ela é injetora nesses intervalos.
Passo 5
Como queremos o conjunto
com o maior número possível de elementos, não podemos escolher apenas uma parte finita dos intervalos. Portanto, vamos considerar os intervalos que continuam indefinidamente em uma direção:
- Intervalo Decrescente:
- Intervalo Crescente:
Ambos os conjuntos têm, em teoria, infinitos elementos, mas são eleitos com base na monotonicidade da função.
Resposta
Para que a função
seja injetora, o conjunto
com o maior número possível de elementos é qualquer um dos seguintes intervalos:
Dessa forma, a função
será injetora no conjunto escolhido.