Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto A com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja injetora. Justifique a sua resposta.
(f) f: A R, f(x)=x^2-4 x-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o conjunto com o maior número possível de elementos, de modo que a função seja injetora quando definida nesse conjunto. Ou seja, queremos que cada elemento de tenha uma imagem única em sem repetições. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função injetora e analisar o comportamento da função quadrática dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então . Em outras palavras, não pode haver dois elementos diferentes em que mapeiem para o mesmo valor em .
No caso da função quadrática , sabemos que funções quadráticas geralmente não são injetoras em todo o seu domínio porque elas têm a forma de parábola, o que significa que para alguns valores de , pode se repetir.

Passo 3

Para garantir que a função seja injetora, precisamos restringir o conjunto xv = -b2a a um intervalo onde a função seja monotônica, ou seja, sempre crescente ou sempre decrescente. Vamos encontrar o ponto onde a função muda sua direção, que é o vértice da parábola.
A fórmula para o vértice xv = --42 times 1 = 2 de uma função quadrática é:
No nosso caso, e , então:
Portanto, o vértice ocorre em .

Passo 4

Sabendo que o vértice está em , podemos determinar como a função se comporta nos intervalos à esquerda e à direita desse ponto:
  • Para : A função é decrescente.
  • Para : A função é crescente.
  • No ponto : A função atinge seu valor mínimo.
Em cada um desses intervalos, a função é monotônica, o que significa que ela é injetora nesses intervalos.

Passo 5

Como queremos o conjunto com o maior número possível de elementos, não podemos escolher apenas uma parte finita dos intervalos. Portanto, vamos considerar os intervalos que continuam indefinidamente em uma direção:
  • Intervalo Decrescente:
  • Intervalo Crescente:
Ambos os conjuntos têm, em teoria, infinitos elementos, mas são eleitos com base na monotonicidade da função.

Resposta

Para que a função A = (-infty, 2] ou A = [2, +infty) seja injetora, o conjunto com o maior número possível de elementos é qualquer um dos seguintes intervalos:
Dessa forma, a função será injetora no conjunto escolhido.

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