Expresse partial ypartial x em termos de x e y, onde y=y(x), é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
e^y+ln (y)=x

Passo 1

O enunciado pede para achar partial ypartial x quando y=y(x) é dada implicitamente por e^y+ln(y)=x. Vamos usar diferenciação implícita, aplicando a derivada de e^y, de ln(y) e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x e lembrando que y depende de x (ou seja, aparece y' nas derivadas), temos:
ddxl(e^yr)+ddxl(ln(y)r)=ddx(x)
ne^y,y'+1y,y'=1

Passo 3

Colocando y' em evidência e isolando, obtemos:
y'l(e^y+1yr)=1
Logo,
y'=1e^y+1y

Resposta

partial ypartial x=1e^y+tfrac1y

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