Para cada uma das funções abaixo
- determine
;
- determine os pontos onde
intercepta o eixo
e o eixo
;
- determine os pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento;
- determine os candidatos a pontos de inflexão e estude a concavidade e pontos de inflexão;
- faça uma tabela com sinais de
e
, que justifiquem onde estão os máximos, mínimos e pontos de inflexão;
- determine se existem assíntotas verticais e horizontais;
- esboce o gráfico.
Passo 1
Temos a função
. O objetivo é estudar domínio, interceptos, derivadas (para extremos e monotonia), segunda derivada (para concavidade e inflexão), assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico.
Passo 2
Determinamos o domínio e os interceptos:
• A exponencial está definida para todo , então
.
• Para intercepto no eixo resolvemos
:
• A exponencial está definida para todo
• Para intercepto no eixo
• O intercepto no eixo
é
. Logo o único ponto de corte com os eixos é
.
Passo 3
Aplicamos a regra do produto para obter a primeira derivada e estudamos extremos:
Como
nunca zera, temos
em
.
Testando o sinal de :
– Em ,
⇒
(cresce).
– Em ,
⇒
(decresce).
Portanto há um máximo local em com valor
.
Testando o sinal de
– Em
– Em
Portanto há um máximo local em
Passo 4
Calculamos a segunda derivada para concavidade e ponto de inflexão:
Zerando
:
. Como
, o sinal de
vem de
:
– Em ,
⇒
(côncavo para baixo).
– Em ,
⇒
(côncavo para cima).
Logo há ponto de inflexão em com
.
– Em
– Em
Logo há ponto de inflexão em
Passo 5
Construímos a tabela de sinais de
e
:
Intervalos | ((- | ||||
---|---|---|---|---|---|
abla,1/2)) |
|
|
|
|
|
f’(x) | + | 0 | – | – | – |
f’’(x) | – | – | – | 0 | + |
Dessa tabela vemos máximo local em
e inflexão em
.
Passo 6
Analisamos assíntotas:
• Não há pontos excluídos no domínio, logo sem assíntota vertical.
• Quando ,
, então há assíntota horizontal
.
• Para ,
, sem assíntota horizontal.
• Não há pontos excluídos no domínio, logo sem assíntota vertical.
• Quando
• Para
Passo 7
Esboçamos o gráfico usando os pontos principais:
• Passa por .
• Cresce de até o máximo em
.
• Decresce depois, com inflexão em .
• Conforme , aproxima-se de
por cima.
• Para ,
e cresce até a origem.
• Passa por
• Cresce de
• Decresce depois, com inflexão em
• Conforme
• Para
Passo 8
Resposta
Domínio:
. Interceptos: único ponto
. Crescimento em
, decrescimento em
; máximo local em
. Concavidade para baixo em
, para cima em
; ponto de inflexão em
. Sem assíntota vertical; assíntota horizontal
quando
.