Para cada uma das funções abaixo
  • determine D(f);
  • determine os pontos onde f intercepta o eixo x e o eixo y;
  • determine os pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento;
  • determine os candidatos a pontos de inflexão e estude a concavidade e pontos de inflexão;
  • faça uma tabela com sinais de f^prime e f^prime prime, que justifiquem onde estão os máximos, mínimos e pontos de inflexão;
  • determine se existem assíntotas verticais e horizontais;
  • esboce o gráfico.
    f(x)=x e^-2 x

Passo 1

Temos a função f(x)=x e^-2x. O objetivo é estudar domínio, interceptos, derivadas (para extremos e monotonia), segunda derivada (para concavidade e inflexão), assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Determinamos o domínio e os interceptos:
• A exponencial está definida para todo x, então D(f)= R.
• Para intercepto no eixo x resolvemos f(x)=0:
x e^-2x=0 implies x=0
• O intercepto no eixo y é f(0)=0. Logo o único ponto de corte com os eixos é (0,0).

Passo 3

Aplicamos a regra do produto para obter a primeira derivada e estudamos extremos:
f'(x)=ddxl(x e^-2xr)=e^-2x+x(-2e^-2x)=e^-2x(1-2x)
Como e^-2x>0 nunca zera, temos f'(x)=0 em 1-2x=0implies x=tfrac12.
Testando o sinal de f':
– Em x<1/2, 1-2x>0 f'>0 (cresce).
– Em x>1/2, 1-2x<0 f'<0 (decresce).
Portanto há um máximo local em x=1/2 com valor f(1/2)=tfrac12e^-1.

Passo 4

Calculamos a segunda derivada para concavidade e ponto de inflexão:
f''(x)=ddxl(e^-2x(1-2x)r)=-2e^-2x(1-2x)+e^-2x(-2)=-4e^-2x(1-x)
Zerando f''(x): 1-x=0implies x=1. Como e^-2x>0, o sinal de f'' vem de 1-x:
– Em x<1, 1-x>0 f''<0 (côncavo para baixo).
– Em x>1, 1-x<0 f''>0 (côncavo para cima).
Logo há ponto de inflexão em x=1 com f(1)=e^-2.

Passo 5

Construímos a tabela de sinais de f' e f'':
Intervalos ((-
abla,1/2)) 1/2 (1/2,1) 1 (1,infty)
f’(x) + 0
f’’(x) 0 +
Dessa tabela vemos máximo local em x=1/2 e inflexão em x=1.

Passo 6

Analisamos assíntotas:
• Não há pontos excluídos no domínio, logo sem assíntota vertical.
• Quando xto+infty, x e^-2xto0, então há assíntota horizontal y=0.
• Para xto-infty, f(x)to-infty, sem assíntota horizontal.

Passo 7

Esboçamos o gráfico usando os pontos principais:
• Passa por (0,0).
• Cresce de -infty até o máximo em (1/2, e^-1/2)approx(0,5,0,184).
• Decresce depois, com inflexão em (1,e^-2)approx(1,0,135).
• Conforme xto+infty, aproxima-se de y=0 por cima.
• Para x<0, f(x)<0 e cresce até a origem.

Passo 8

Resposta

Domínio: D(f)=R. Interceptos: único ponto (0,0). Crescimento em (tfrac12,infty), decrescimento em (tfrac12,tfrac12e^-1); máximo local em (1,infty). Concavidade para baixo em (1,e^-2), para cima em y=0; ponto de inflexão em xto+infty. Sem assíntota vertical; assíntota horizontal quando .

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