Considere a sequência
A sequência é limitada? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma sequência onde cada termo envolve raízes quadradas aninhadas, tipo assim:
O que a gente precisa descobrir é se essa sequência é limitada, ou seja, se ela não cresce pra infinito nem fica muito pequena. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e limites. Vamos passo a passo entender como isso funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos observar os primeiros termos da sequência para entender o comportamento dela:
- $ a_1 = \sqrt{12} \approx 3,464 $
- $ a_2 = \sqrt{12 + \sqrt{12}} \approx \sqrt{12 + 3,464} \approx \sqrt{15,464} \approx 3,933 $
- $ a_3 = \sqrt{12 + \sqrt{12 + \sqrt{12}}} \approx \sqrt{12 + 3,933} \approx \sqrt{15,933} \approx 3,992 $
Parece que a sequência está aumentando e se aproximando de um valor específico. Isso já dá uma pista de que a sequência pode ser limitada e até convergente.
Passo 3
Vamos supor que essa sequência converge para um limite $ L $. Se ela realmente convergir, então o próprio limite deve satisfazer a relação da sequência. Ou seja:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ L $.
Passo 4
Para resolver $ L = \sqrt{12 + L} $, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, vamos rearranjar a equação para deixá-la igual a zero:
Passo 5
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
- $ L = \frac{1 + 7}{2} = 4 $
- $ L = \frac{1 - 7}{2} = -3 $
Como estamos lidando com raízes quadradas, que resultam em números não negativos, descartamos $ L = -3 $.
Passo 6
Então, o limite da sequência é $ L = 4 $. Isso significa que a sequência está se aproximando do número 4 conforme n aumenta. Como todos os termos da sequência estão ficando cada vez mais próximos de 4 e não ultrapassam esse valor, podemos concluir que a sequência é limitada superiormente por 4.
Além disso, o primeiro termo é $ \sqrt{12} \approx 3,464 $, então todos os termos seguintes são maiores que esse valor inicial, fazendo com que a sequência também seja limitada inferiormente por $ \sqrt{12} $.
Resposta
Sim, a sequência é limitada. Ela está sempre entre $ \sqrt{12} $ e 4.