Seja (an) uma sequência de números reais.
Se a neq 0 e an=n^2(1-cos (an)), determine, caso exista, lim n +infty an.

Passo 1

Temos a sequência an = n^2l(1-cos(tfracan)r) e o objetivo é calcular limntoinftyan. O conteúdo aqui envolve limites de funções e uso do limite fundamental ou da expansão em série de Taylor do cosseno.

Passo 2

Definimos xn = tfracan. Como a é constante não nula, temos limntoinftyxn=0. Podemos então usar o resultado clássico:
limxto01-cos xx^2=12

Passo 3

Reescrevendo an em função de xn:
an = n^2l(1-cos(xn)r) = n^2 xn^2cdot1-cos(xn)xn^2 = a^2cdot1-cos(xn)xn^2

Passo 4

Agora basta aplicar o limite em ambos os lados usando o resultado fundamental. Como xnto0, temos
limntoinftyan = a^2cdotlimntoinfty1-cos(xn)xn^2 = a^2cdot12 = a^22

Resposta

a^22

Exercícios relacionados